Exercice 1, § 3

Soient $A$ un anneau, $U$ une partie ouverte de $\mathrm{Spec}(A)$. a) Montrer que l’application $p \mapsto V(p) \cap U$ induit une bijection de $U$ sur l’ensemble des parties fermées irréductibles de $U$. b) Montrer que $\dim(U)$ est la borne supérieure de l’ensemble des longueurs des chaînes d’idéaux premiers de $A$ appartenant à $U$. c) Soit $\Phi$ l’ensemble des idéaux premiers minimaux de $A$ appartenant à $U$. Montrer que l’on a

d) On suppose désormais $A$ local et $U \neq \mathrm{Spec}(A)$. Si $A$ est noethérien, établir l’égalité $\dim(U) = \sup_{p \in \Phi}(\dim(A/p) - 1)$. e) Soit $h$ un entier tel que $0 < h < \dim(A)$. Soit $E_h$ l’ensemble des idéaux premiers $p \in U$ tels que $\mathrm{ht}(p) = h$ et $\dim(A/p) = \dim(A) - h$. Si $A$ est noethérien, montrer que $E_h$ est infini. Montrer que $E_h$ peut être fini lorsque $A$ n’est pas noethérien (prendre pour $A$ un anneau de valuation de hauteur 2, pour $U$ l’ouvert $\mathrm{Spec}(A) - \{ m_A \}$, et choisir $h = 1$).

EXERCICES

AC VIII.87