Bài tập 1, § 3

Cho $A$ là một vành, $U$ là một tập con mở của $\mathrm{Spec}(A)$. a) Bây giờ chứng minh rằng ánh xạ $p \mapsto V(p) \cap U$ cảm sinh một song ánh từ $U$ lên tập hợp các tập con đóng bất khả quy của $U$. b) Bây giờ chứng minh rằng $\dim(U)$ là cận trên đúng của tập hợp các độ dài của các dây chuyền các iđêan nguyên tố của $A$ thuộc $U$. c) Gọi $\Phi$ là tập hợp các iđêan nguyên tố cực tiểu của $A$ thuộc $U$. Bây giờ chứng minh rằng ta có

d) Bây giờ giả sử $A$ địa phương và $U \neq \mathrm{Spec}(A)$. Nếu $A$ là Noether, hãy thiết lập đẳng thức $\dim(U) = \sup_{p \in \Phi}(\dim(A/p) - 1)$. e) Cho $h$ là một số nguyên sao cho $0 < h < \dim(A)$. Gọi $E_h$ là tập hợp các iđêan nguyên tố $p \in U$ sao cho $\mathrm{ht}(p) = h$ và $\dim(A/p) = \dim(A) - h$. Nếu $A$ là Noether, hãy chứng minh rằng $E_h$ là vô hạn. Hãy chứng minh rằng $E_h$ có thể là hữu hạn khi $A$ không là Noether (lấy $A$ là một vành định giá có chiều cao 2, $U$ là tập con mở $\mathrm{Spec}(A) - \{ m_A \}$, và chọn $h = 1$).

BÀI TẬP

AC VIII.87