Exercice 3, § 3

a) Soient A un anneau local noethérien, p un idéal premier de A. Démontrer l’inégalité dim_p(A) ≥ ht(p) + dim(A/p) − 1. b) Prouver qu’il existe un anneau local noethérien R de dimension 3 ayant un idéal premier q tel que ht(q) = 1, dim(R/q) = 1. (Utiliser l’exerc. 16, p. 83, en prenant R = A[U]_{q_1} et q = pR.) Soit f ∈ m_R − q ; montrer que l’on a dim(R_f) = 2 (utiliser l’exerc. 1, p. 86) ; on a donc dim_q(R) = 2 tandis que ht(q) + dim(R/q) − 1 = 1.