Bài tập 3, § 3

(a) Cho $A$ là một vành Noether địa phương, $p$ là một iđêan nguyên tố của $A$. Chứng minh bất đẳng thức $\dim_p(A) \geq \operatorname{ht}(p) + \dim(A/p) - 1$. (b) Chứng minh rằng tồn tại một vành Noether địa phương $R$ có chiều 3 có một iđêan nguyên tố $q$ sao cho $\operatorname{ht}(q) = 1$, $\dim(R/q) = 1$. (Sử dụng Bài tập 16, p. 83, bằng cách lấy $R = A[U]_{q_1}$ và $q = pR$.) Cho $f \in m_R - q$ ; bây giờ chứng minh rằng ta có $\dim(R_f) = 2$ (sử dụng Bài tập 1, p. 86) ; do đó ta có $\dim_q(R) = 2$ trong khi $\operatorname{ht}(q) + \dim(R/q) - 1 = 1$.