Exercice 10, § 5

Soit A un anneau de valuation dont le groupe des ordres $\Gamma$ possède la propriété (GOD). a) Montrer que $\mathrm{dh}(A) \leq 2$. (On remarquera que tout idéal de A est limite inductive dénombrable d’idéaux principaux et on utilisera les résultats des exerc. 7 et 8.) b) Tout anneau de valuation de dimension de Krull 1 est de dimension homologique $\leq 2$. Il est de dimension homologique 2 si et seulement s’il n’est pas noethérien. (Utiliser l’exerc. 9, a) et A, X, p. 208, exerc. 12.) c) Pour tout entier $n \geq 1$, il existe un anneau de dimension de Krull égale à $n$ et de dimension homologique égale à 2. (Utiliser l’exerc. 9, b) et A, X, p. 208, exerc. 12.)