Exercice 12, § 5

Soient A un anneau et a un idéal de type fini de A. a) Montrer que s’il existe un idéal b de A tel que a = a.b, il existe b ∈ b tel que (1 − b)a = (0). b) Montrer que si a² = a, il existe un élément a ∈ a tel que a² = a et a = Aa. c) On suppose que a est maximal et que le A-module a/a² peut être engendré par n éléments. Montrer que l’idéal a peut être engendré par n + 1 éléments. (On prendra des éléments x₁, ..., xₙ dans a dont les images dans a/a² engendrent ce dernier. Notant x l’idéal de A engendré par {x₁, ..., xₙ}, on remarquera que dans A/x on a (a/x)² = (a/x).)