Bài tập 12, § 5

Cho A là một vành và a là một iđêan kiểu hữu hạn của A. a) Chứng minh rằng nếu tồn tại một iđêan b của A sao cho a = a.b, thì tồn tại b ∈ b sao cho (1 − b)a = (0). b) Chứng minh rằng nếu a² = a, thì tồn tại một phần tử a ∈ a sao cho a² = a và a = Aa. c) Giả sử rằng a là cực đại và rằng A-môđun a/a² có thể được sinh bởi n phần tử. Chứng minh rằng iđêan a có thể được sinh bởi n + 1 phần tử. (Lấy các phần tử x₁, ..., xₙ trong a sao cho ảnh của chúng trong a/a² sinh ra môđun sau. Ký hiệu x là iđêan của A được sinh bởi {x₁, ..., xₙ}, ta nhận xét rằng trong A/x ta có (a/x)² = (a/x).)