Exercice 14, § 5

Soit ρ : A → B un homomorphisme d’anneaux noethériens faisant de B un A-module fidèlement plat. a) Si B est régulier, alors A est régulier (cf. p. 94, exerc. 2 et 3). b) Si A est régulier et si, pour tout idéal maximal m de A, B/mB est régulier, alors B est régulier. (En localisant se ramener au cas où A et B sont locaux et ρ local. On a alors dim(B) = dim(A) + dim(B/mB) (§ 3, no 4, cor. 1 à la prop. 7). Construire une suite sécante pour B possédant dim(B) termes.)