Exercice 16, § 5

Soit A un anneau noethérien. On appelle lieu singulier de Spec(A) et on note Sing(A), l’ensemble des p ∈ Spec(A) tels que A_p ne soit pas régulier. On pose

Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) Pour tout anneau quotient B de A, Reg(B) est ouvert dans Spec(B). (ii) Pour tout anneau quotient intègre B de A, Reg(B) est une partie ouverte non vide de Spec(B). (iii) Pour tout anneau quotient intègre B de A, Reg(B) contient une partie ouverte non vide de Spec(B). (Pour démontrer (i) ⇒ (ii), remarquer que l’on a (0) ∈ Reg(B). Pour démontrer (iii) ⇒ (i), montrer que pour tout p ∈ Spec(A) tel que V(p) ∩ Reg(A) ≠ ∅, l’anneau A_p est régulier (p. 94, exerc. 5). En utilisant (iii) et en construisant des suites complètement sécantes, montrer que V(p) ∩ Reg(A) contient une partie ouverte non vide de V(p). Conclure en utilisant l’exerc. 15.)