Bài tập 16, § 5

Cho $A$ là một vành Noether. Quỹ tích kỳ dị của Spec(A) được gọi là và được ký hiệu Sing(A), là tập hợp các p ∈ Spec(A) sao cho A_p không chính quy. Đặt

Bây giờ chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: (i) Với mọi vành thương B của A, Reg(B) là mở trong Spec(B). (ii) Với mọi vành thương nguyên B của A, Reg(B) là một tập con mở khác rỗng của Spec(B). (iii) Với mọi vành thương nguyên B của A, Reg(B) chứa một tập con mở khác rỗng của Spec(B). (Để chứng minh (i) ⇒ (ii), chú ý rằng ta có (0) ∈ Reg(B). Để chứng minh (iii) ⇒ (i), chứng minh rằng với mọi p ∈ Spec(A) sao cho V(p) ∩ Reg(A) ≠ ∅, vành A_p là chính quy (p. 94, bài tập 5). Kết luận bằng cách sử dụng (iii) và xây dựng các dãy cát tuyến hoàn toàn, chứng minh rằng V(p) ∩ Reg(A) chứa một tập con mở khác rỗng của V(p). Kết luận bằng cách sử dụng bài tập 15.)