Exercice 17, § 5

Soit ρ : A → B un homomorphisme injectif d’anneaux noethériens intègres faisant de B un A-module de type fini. a) On suppose que Reg(B) contient une partie ouverte non vide de Spec(B). Montrer que Reg(A) contient une partie ouverte non vide de Spec(A). (Se ramener au cas où B est plat sur A en utilisant II, § 5, no 1, corollaire à la prop. 2, puis au cas où B est régulier en localisant par rapport à un élément convenable x ∈ A. Conclure en utilisant l’exerc. 14, a).) b) On suppose que Reg(A) contient une partie ouverte non vide de Spec(A) et que le corps K’ des fractions de B est une extension séparable du corps K des fractions de A. Montrer que Reg(B) contient une partie ouverte non vide de Spec(B). (Soit Z ∈ K’ tel que K’ = K(Z) (A, V, p. 39), et soit P(X) ∈ K[X] le polynôme minimal de Z. Quitte à remplacer A par l’anneau $A_f$ pour un élément $f$ convenable de $A$, montrer qu’on peut se ramener à démontrer la propriété demandée de $\mathrm{Spec}(B)$ dans le cas suivant : $\alpha) \ Z \in B$ et $A$ est régulier ; $\beta)$ on a $P(X) \in A[X]$; $\gamma)$ on a $B = A[X]/(P(X))$ (II, § 5, n° 1, prop. 2); $\delta)$ $P'(Z)$ est inversible dans $B$ (remarquer que $P'(Z) \neq 0$ dans $K'$ car $K'$ est séparable sur $K$. Utiliser alors II, § 5, n° 1, corollaire à la prop. 3). Montrer que dans ce cas, pour tout idéal maximal $m$ de $A$, $B/mB$ est une $(A/m)$-algèbre étale (A, V, p. 32), donc régulière. Conclure en utilisant l’exerc. 14, b).)