Bài tập 17, § 5

Cho ρ : A → B là một đồng cấu đơn ánh của các vành nguyên Noether, làm cho B là một A-môđun hữu hạn sinh. a) Giả sử rằng Reg(B) chứa một tập con mở khác rỗng của Spec(B). Chứng minh rằng Reg(A) chứa một tập con mở khác rỗng của Spec(A). (Rút gọn về trường hợp B phẳng trên A bằng cách sử dụng II, § 5, No. 1, hệ quả của mệnh đề 2, rồi về trường hợp B chính quy bằng cách địa phương hóa đối với một phần tử thích hợp x ∈ A. Kết luận bằng cách sử dụng Bài tập 14, a).) b) Giả sử rằng Reg(A) chứa một tập con mở khác rỗng của Spec(A) và trường K’ các phân thức của B là một mở rộng tách được của trường K các phân thức của A. Chứng minh rằng Reg(B) chứa một tập con mở khác rỗng của Spec(B). (Cho Z ∈ K’ sao cho K’ = K(Z) (A, V, p. 39), và cho P(X) ∈ K[X] là đa thức tối tiểu của Z. Sau khi thay thế A bởi vành $A_f$ với một phần tử thích hợp $f$ của $A$, chứng minh rằng có thể rút gọn về việc chứng minh tính chất cần thiết của $\mathrm{Spec}(B)$ trong trường hợp sau: $\alpha) \ Z \in B$ và $A$ chính quy ; $\beta)$ ta có $P(X) \in A[X]$; $\gamma)$ ta có $B = A[X]/(P(X))$ (II, § 5, No. 1, mệnh đề 2); $\delta)$ $P'(Z)$ khả nghịch trong $B$ (chú ý rằng $P'(Z) \neq 0$ trong $K'$ vì $K'$ là tách được trên $K$. Sau đó sử dụng II, § 5, No. 1, hệ quả của mệnh đề 3). Chứng minh rằng trong trường hợp này, với mọi iđêan cực đại $m$ của $A$, $B/mB$ là một đại số $(A/m)$-étale (A, V, p. 32), do đó chính quy. Kết luận bằng cách sử dụng Bài tập 14, b).)