Exercice 18, § 5

Soient $k$ un corps, $A$ une $k$-algèbre de type fini. Montrer que $\mathrm{Reg}(A)$ est une partie ouverte de $\mathrm{Spec}(A)$. (En utilisant l’exerc. 16, se ramener à démontrer que $\mathrm{Reg}(A)$ contient une partie ouverte non vide lorsque $A$ est intègre. En utilisant le lemme de normalisation (V, § 3, n° 1, th. 1) et l’exerc. 17, a), se ramener à démontrer cette dernière propriété lorsque $A$ est la clôture intégrale de $k[X_1, ..., X_n]$ dans une extension finie quasi-galoisienne $K$ de $k(X_1, ..., X_n)$. Soient $K'$ la clôture radicielle de $k(X_1, ..., X_n)$ dans $K$ et $A'$ la clôture intégrale de $k[X_1, ..., X_n]$ dans $K'$. Se ramener à démontrer la propriété demandée pour $A'$ grâce à l’exerc. 17, b). En s’inspirant de la démonstration du th. 2 de V, § 3, n° 2, inclure $K'$ dans une extension $k'(X_1^{q^{-1}}, ..., X_n^{q^{-1}}) = K''$ où $k'$ est une extension radicielle de $k$ et se ramener au cas où $A'$ est la clôture intégrale de $k[X_1, ..., X_n]$ dans $K''$ grâce à l’exerc. 17, a). Remarquer alors que $A' = k'[X_1^{q^{-1}}, ..., X_n^{q^{-1}}]$ (V, § 1, n° 3, cor. 2 à la prop. 13) et que $A'$ est régulier (p. 94, exerc. 6).)