Bài tập 18, § 5

Cho $k$ là một trường, $A$ là một đại số hữu hạn kiểu $k$. Bây giờ chứng minh rằng $\mathrm{Reg}(A)$ là một tập con mở của $\mathrm{Spec}(A)$. (Sử dụng Bài tập 16, rút gọn về việc chứng minh rằng $\mathrm{Reg}(A)$ chứa một tập con mở khác rỗng khi $A$ là nguyên. Sử dụng bổ đề chuẩn hóa (V, § 3, No. 1, Định lý 1) và Bài tập 17, a), rút gọn về việc chứng minh tính chất cuối cùng này khi $A$ là bao đóng nguyên của $k[X_1, ..., X_n]$ trong một mở rộng quasi-Galois hữu hạn $K$ của $k(X_1, ..., X_n)$. Gọi $K'$ là bao đóng thuần phóng xạ của $k(X_1, ..., X_n)$ trong $K$ và $A'$ là bao đóng nguyên của $k[X_1, ..., X_n]$ trong $K'$. Rút gọn về việc chứng minh tính chất cần thiết cho $A'$ nhờ Bài tập 17, b). Theo chứng minh của Định lý 2 của V, § 3, No. 2, đưa $K'$ vào một mở rộng $k'(X_1^{q^{-1}}, ..., X_n^{q^{-1}}) = K''$ trong đó $k'$ là một mở rộng thuần phóng xạ của $k$ và rút gọn về trường hợp $A'$ là bao đóng nguyên của $k[X_1, ..., X_n]$ trong $K''$ nhờ Bài tập 17, a). Khi đó nhận thấy rằng $A' = k'[X_1^{q^{-1}}, ..., X_n^{q^{-1}}]$ (V, § 1, No. 3, Hệ quả 2 của Mệnh đề 13) và rằng $A'$ là chính quy (p. 94, Bài tập 6).)