Exercice 21, § 5

Soient $I$ un ensemble ordonné filtrant, $(A_i, \varphi_{ij})$ un système inductif d’anneaux de limite inductive $A$. On suppose que, pour tout $i$, l’anneau $A_i$ est noethérien, que pour tout couple $(i, j)$ tel que $i < j$, $\varphi_{ij}$ fait de $A_j$ un $A_i$-module plat et que $A$ est noethérien. Montrer que si les $A_i$ sont réguliers pour tout $i \in I$, alors $A$ est régulier. (On pourra tout d’abord se ramener au cas où les $A_i$ et $A$ sont locaux et les $\varphi_{ij}$ sont locaux. On utilisera ensuite les exerc. 3, p. 94 et 14, p. 96.)