Exercice 29, § 5

Soient $k$ un corps, $A$ une $k$-algèbre locale noethérienne complète, $\kappa_A$ le corps résiduel de $A$. a) Supposons que $\kappa_A$ soit une extension séparable de $k$. Montrer qu’il existe un homomorphisme de $k$-algèbres de $\kappa_A$ dans $A$, section de l’homomorphisme canonique de $A$ dans $\kappa_A$ (IX, § 3, no 2, prop. 1). b) Supposons que $\kappa_A$ soit une extension radicielle de $k$. Montrer qu’il n’existe pas nécessairement de section de $k$-algèbres de $\kappa_A$ dans $A$. (Prendre un corps $k$ de caractéristique 2, un élément $a$ de $k$ qui n’est pas un carré (par exemple $k = F_2(T), a = T$), l’idéal $p$ de $k[X]$ engendré par $X^2 + a$, et poser $A = \widehat{k[X]_p}$) c) On suppose $A$ régulière et $\kappa_A$ extension séparable de $k$. Montrer que $A$ est isomorphe comme $k$-algèbre à $\kappa_A[[T_1, ..., T_n]]$ où $n = \dim(A)$. d) Montrer qu’il n’en est pas nécessairement de même lorsque $\kappa_A$ n’est pas une extension séparable de $k$.