Bài tập 29, § 5

Cho $k$ là một trường, $A$ là một $k$-đại số địa phương Noether đầy đủ, $\kappa_A$ là trường thặng dư của $A$. a) Giả sử rằng $\kappa_A$ là một mở rộng tách được của $k$. Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu của các $k$-đại số từ $\kappa_A$ vào $A$, là tiết diện của đồng cấu chính tắc từ $A$ đến $\kappa_A$ (IX, § 3, no 2, prop. 1). b) Giả sử rằng $\kappa_A$ là một mở rộng thuần túy không tách được của $k$. Chứng minh rằng không nhất thiết tồn tại một tiết diện của các $k$-đại số từ $\kappa_A$ vào $A$. (Lấy một trường $k$ có đặc số 2, một phần tử $a$ của $k$ không phải là một bình phương (ví dụ $k = F_2(T), a = T$), iđêan $p$ của $k[X]$ sinh bởi $X^2 + a$, và đặt $A = \widehat{k[X]_p}$) c) Giả sử rằng $A$ là chính quy và $\kappa_A$ là một mở rộng tách được của $k$. Chứng minh rằng $A$ đẳng cấu như một $k$-đại số với $\kappa_A[[T_1, ..., T_n]]$ trong đó $n = \dim(A)$. d) Chứng minh rằng điều này không nhất thiết đúng khi $\kappa_A$ không phải là một mở rộng tách được của $k$.