Exercice 30, § 5

Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre locale, noethérienne et complète. On dit que $A$ est formellement lisse si pour toute extension finie $k'$ de $k$, l’anneau $A \otimes_k k'$ est régulier. Montrer que $A$ est formellement lisse si et seulement si, pour toute extension radicielle finie $k'$ de $k$, l’anneau $A \otimes_k k'$ est régulier (on pourra utiliser l’exerc. 14, p. 96 et imiter la démonstration de l’exerc. 23, p. 97).