Exercice 31, § 5

Soit $k$ un corps. a) Soit $A$ une $k$-algèbre noethérienne, locale, complète, régulière, dont le corps résiduel $\kappa_A$ soit extension séparable de $k$. Montrer que $A$ est formellement lisse et isomorphe à $\kappa_A[[T_1, ..., T_n]]$. b) Soient $B$ une $k$-algèbre de type fini, $p \in \mathrm{Spec}(B)$ un point lisse (p. 97, exerc. 23). Montrer que $\hat{B}_p$ est une $k$-algèbre formellement lisse. c) Soit $\kappa$ une extension de type fini de $k$ et soit $n \in \mathbf{N}$. Montrer qu’il existe une $k$-algèbre formellement lisse de corps résiduel $\kappa$ et de dimension $n$. d) Soit $A$ une $k$-algèbre formellement lisse dont le corps résiduel $\kappa_A$ ne soit pas une extension séparable de $k$. Montrer que $A$ n’est pas isomorphe comme $k$-algèbre à $\kappa_A[[T_1, ..., T_n]]$.