Bài tập 31, § 5

Cho $k$ là một trường. (a) Cho $A$ là một $k$-đại số Noether, địa phương, đầy đủ, chính quy, có trường thặng dư $\kappa_A$ là một mở rộng tách được của $k$. Bây giờ chứng minh rằng $A$ trơn hình thức và đẳng cấu với $\kappa_A[[T_1, ..., T_n]]$. (b) Cho $B$ là một $k$-đại số kiểu hữu hạn, $p \in \mathrm{Spec}(B)$ là một điểm trơn (p. 97, Bài tập 23). Bây giờ chứng minh rằng $\hat{B}_p$ là một $k$-đại số trơn hình thức. (c) Cho $\kappa$ là một mở rộng kiểu hữu hạn của $k$ và cho $n \in \mathbf{N}$. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một $k$-đại số trơn hình thức có trường thặng dư $\kappa$ và chiều $n$. (d) Cho $A$ là một $k$-đại số trơn hình thức có trường thặng dư $\kappa_A$ không phải là một mở rộng tách được của $k$. Bây giờ chứng minh rằng $A$ không đẳng cấu như một $k$-đại số với $\kappa_A[[T_1, ..., T_n]]$.

**T 32) Cho k là một trường, K là một mở rộng kiểu hữu hạn của k, n là một số nguyên dương, A và B là hai $k$-đại số trơn hình thức, có chiều n, sao cho các mở rộng $\kappa_A$ và $\kappa_B$ của k đẳng cấu với K. Ta đề nghị chứng minh rằng A và B là các $k$-đại số đẳng cấu với nhau. (a) Rút gọn về trường hợp K là một mở rộng radicial hữu hạn của k (Bài tập 29, a)). (b) Xét đại số đầy đủ $C = A \otimes_k B$ của $A \otimes_k B$ đối với iđêan

Bây giờ chứng minh rằng C là một $k$-đại số Noether, địa phương, đầy đủ và chính quy. (Đối với điểm cuối này, người ta sẽ dùng đồng cấu chính tắc $\rho$ của A vào C. Ta sẽ chứng minh rằng nó làm cho C trở thành một A-môđun phẳng và rằng $C \otimes_A \kappa_A$ đẳng cấu với $\kappa_A \otimes_k B$. Sau đó người ta sẽ dùng Bài tập 14, p. 96.) (c) Bây giờ chứng minh rằng $\rho$ cảm sinh một đẳng cấu trên các trường thặng dư và một đơn ánh của $m_A / m_A^2$ vào $m_C / m_C^2$. Khi đó xây dựng một phép co $\pi$ của $\rho$, là một đồng cấu của các $k$-đại số. Bây giờ chứng minh rằng $\pi \circ \rho' : B \to A$ là một đẳng cấu của các $k$-đại số. (Ta đã ký hiệu $\rho'$ là đồng cấu chính tắc của B vào C.)