Exercice 6, § 5

On dit qu’un anneau noethérien $A$ est régulier si pour tout idéal premier $p$ de $A$, l’anneau local $A_p$ est régulier. a) Soit $A$ un anneau noethérien. Alors $A$ est régulier si et seulement si $A_m$ est régulier pour tout idéal maximal $m$ de $A$ (utiliser l’exerc. 5). b) Soit $A$ un anneau noethérien. Montrer que $A$ est régulier de dimension finie si et seulement si $\mathrm{dh}(A)$ est fini (utiliser l’exerc. 4). c) Montrer que l’anneau décrit dans l’exerc. 13, p. 83 est régulier de dimension infinie. d) Soient $A$ un anneau noethérien régulier, $S$ une partie multiplicative. Montrer que $S^{-1}A$ est régulier. e) Soit $A$ un anneau noethérien régulier. Montrer que $A[X]$ est régulier. (Se ramener en localisant au cas où $\mathrm{dh}(A)$ est fini. Utiliser A, X, p. 143, th. 1, et b).)

$^1$ Pour des compléments sur cet exercice, on pourra consulter R. Stanley, The Hilbert function of a graded algebra, Advances in Math., 28 (1978), p. 57-83.

EXERCICES

AC VIII.95