Bài tập 6, § 5

Người ta nói rằng một vành Noether $A$ là chính quy nếu, với mọi iđêan nguyên tố $p$ của $A$, vành địa phương $A_p$ là chính quy. a) Cho $A$ là một vành Noether. Khi đó $A$ là chính quy khi và chỉ khi $A_m$ là chính quy với mọi iđêan cực đại $m$ của $A$ (sử dụng Bài tập 5). b) Cho $A$ là một vành Noether. Chứng minh rằng $A$ là chính quy hữu hạn chiều khi và chỉ khi $\mathrm{dh}(A)$ là hữu hạn (sử dụng Bài tập 4). c) Chứng minh rằng vành được mô tả trong Bài tập 13, p. 83 là chính quy có chiều vô hạn. d) Cho $A$ là một vành Noether chính quy, $S$ là một tập con nhân. Chứng minh rằng $S^{-1}A$ là chính quy. e) Cho $A$ là một vành Noether chính quy. Chứng minh rằng $A[X]$ là chính quy. (Rút gọn bằng cách địa phương hóa về trường hợp $\mathrm{dh}(A)$ là hữu hạn. Sử dụng A, X, p. 143, Định lý 1, và b).)

$^1$ Để biết thêm về bài tập này, có thể tham khảo R. Stanley, Hàm Hilbert của một đại số phân bậc, Advances in Math., 28 (1978), p. 57-83.

BÀI TẬP

AC VIII.95