Exercice 7, § 5

Soient I un ensemble ordonné filtrant croissant admettant une partie cofinale dénombrable et A un anneau (non nécessairement commutatif). On se propose de montrer que toute limite inductive, suivant I, de A-modules (à gauche) projectifs est de dimension projective $\leq 1$ (A, X, p. 134). a) Soient $((Q_i)_{i \in I}, (\varphi_{i,j})_{i < j})$ un système inductif de A-modules projectifs et $Q = \lim_{\longrightarrow} Q_i$. Pour montrer que Q est de dimension projective $\leq 1$, se ramener au cas où $I = \mathbf{N}$. On a alors une suite exacte

où pour tout $n \in \mathbf{N}$ et tout $x \in Q_n$, on a

b) Soit $((P_i)_{i \in I}, (\varphi_{i,j})_{i < j})$ un système inductif de A-modules projectifs tel que pour tout couple $(i, j)$ avec $i < j$, $\varphi_{i,j}$ soit injectif et le module $\mathrm{Coker}(\varphi_{i,j})$ soit projectif. Montrer que le module $P = \lim_{\longrightarrow} P_i$ est projectif. (Soit $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ une suite exacte de A-modules. Alors

est une suite exacte de systèmes projectifs de groupes commutatifs et le système projectif $i \mapsto \mathrm{Hom}_A(P_i, M')$ possède la propriété de Mittag-Leffler pour la topologie discrète (TG, II, p. 18). On en déduira que la suite des limites projectives est exacte.) c) Soit $(Q_i)_{i \in I}$ un système inductif de A-modules projectifs. Pour tout $i \in I$, soit $R_i = \bigoplus_{j \leq i} Q_j$ et pour $i < i'$ soit $\psi_{i,i'} : R_i \to R_{i'}$ l’injection canonique. Définir une suite exacte de systèmes inductifs $0 \to (P_i) \to (R_i) \to (Q_i) \to 0$ telle que $(P_i)$ vérifie les hypothèses de b). En déduire une autre démonstration de a).