Bài tập 7, § 5

Cho I là một tập hợp có thứ tự lọc tăng thừa nhận một tập con đồng cuối đếm được và A là một vành (không nhất thiết giao hoán). Ta sẽ chứng minh rằng mọi giới hạn quy nạp, trên I, của các A-môđun xạ ảnh (bên trái) đều có chiều xạ ảnh $\leq 1$ (A, X, p. 134). a) Cho $((Q_i)_{i \in I}, (\varphi_{i,j})_{i < j})$ là một hệ quy nạp của các A-môđun xạ ảnh và cho $Q = \lim_{\longrightarrow} Q_i$. Để chứng minh rằng Q có chiều xạ ảnh $\leq 1$, rút gọn về trường hợp $I = \mathbf{N}$. Khi đó ta có một dãy khớp

trong đó với mọi $n \in \mathbf{N}$ và mọi $x \in Q_n$, ta có

b) Cho $((P_i)_{i \in I}, (\varphi_{i,j})_{i < j})$ là một hệ quy nạp của các A-môđun xạ ảnh sao cho với mọi cặp $(i, j)$ với $i < j$, $\varphi_{i,j}$ là đơn ánh và môđun $\mathrm{Coker}(\varphi_{i,j})$ là xạ ảnh. Chứng minh rằng môđun $P = \lim_{\longrightarrow} P_i$ là xạ ảnh. (Cho $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ là một dãy khớp của các A-môđun. Khi đó

là một dãy khớp của các hệ xạ ảnh của các nhóm giao hoán và hệ xạ ảnh $i \mapsto \mathrm{Hom}_A(P_i, M')$ có tính chất Mittag-Leffler đối với tôpô rời rạc (TG, II, p. 18). Ta sẽ suy ra từ điều này rằng dãy các giới hạn xạ ảnh là khớp.) c) Cho $(Q_i)_{i \in I}$ là một hệ quy nạp của các A-môđun xạ ảnh. Với mọi $i \in I$, đặt $R_i = \bigoplus_{j \leq i} Q_j$ và với $i < i'$ đặt $\psi_{i,i'} : R_i \to R_{i'}$ là đơn ánh chính tắc. Định nghĩa một dãy khớp các hệ quy nạp $0 \to (P_i) \to (R_i) \to (Q_i) \to 0$ sao cho $(P_i)$ thỏa mãn các giả thiết của b). Suy ra một chứng minh khác của a).