Exercice 8, § 5

Soient A un anneau et $n$ un entier $\geq 1$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) On a $\mathrm{dh}(A) \leq n$. (ii) Pour tout A-module M monogène, on a $\mathrm{dp}_A(M) \leq n$. (iii) Pour tout idéal I de A, on a $\mathrm{dp}_A(I) \leq n - 1$. (Utiliser A, X, p. 138, prop. 4 pour prouver l’équivalence (i) $\Leftrightarrow$ (ii) et A, X, p. 93, prop. 11 pour prouver (i) $\Leftrightarrow$ (iii).)