Exercice 9, § 5

Soient $\Gamma$ un groupe commutatif totalement ordonné et $\Gamma^+$ l’ensemble des éléments positifs de $\Gamma$. Notons (GOD) la propriété suivante : (GOD) : Toute partie majeure $M \subset \Gamma^+$ (VI, § 3, no 5, déf. 2) possède une partie dénombrable, cofinale pour l’ordre opposé. a) Montrer que si $\Gamma$ est de hauteur 1, la propriété (GOD) est satisfaite. b) Pour tout entier $n$, montrer qu’il existe un groupe totalement ordonné $\Gamma$ de hauteur $n$ possédant la propriété (GOD) (prendre $\Gamma = \mathbf{Z}^n$ muni de l’ordre lexicographique).