Bài tập 9, § 5

Cho $\Gamma$ là một nhóm giao hoán được sắp thứ tự toàn phần và $\Gamma^+$ là tập hợp các phần tử dương của $\Gamma$. Ký hiệu (GOD) là tính chất sau: (GOD) : Mọi tập con lớn $M \subset \Gamma^+$ (VI, § 3, số 5, Định nghĩa 2) đều chứa một tập con đếm được, đồng cuối đối với thứ tự đối. a) Bây giờ chứng minh rằng nếu $\Gamma$ có chiều cao 1 thì tính chất (GOD) được thỏa mãn. b) Với mọi số nguyên $n$, bây giờ chứng minh rằng tồn tại một nhóm được sắp thứ tự toàn phần $\Gamma$ có chiều cao $n$ và có tính chất (GOD) (lấy $\Gamma = \mathbf{Z}^n$ được trang bị thứ tự từ điển).