Exercice 11, § 6

Soient $\rho : A \to B$ un homomorphisme d’anneaux, $^a\rho : \mathrm{Spec}(B) \to \mathrm{Spec}(A)$ l’application correspondante. a) Montrer que pour tout $q \in \mathrm{Spec}(A)$, $\mathrm{Spec}(B \otimes_A \kappa(q))$ s’identifie à $^a\rho^{-1}(q)$. b) Supposons que $B$ soit une $A$-algèbre de type fini. Montrer que $p$ est un point isolé dans sa fibre $^a\rho^{-1}(^a\rho(p))$ si et seulement si $\dim_p(B \otimes_A \kappa(^a\rho(p)))$ est nul. c) Déduire de l’exerc. 10 que sous les hypothèses de b), l’ensemble des points de $\mathrm{Spec}(B)$ qui sont isolés dans leur fibre, est une partie ouverte de $\mathrm{Spec}(B)$.