Exercice 8, § 6

Soient A un anneau noethérien, et B une sous-A-algèbre graduée de l’anneau de polynômes $A[T]$.

a) Montrer que l’on a les inégalités

b) Soit $B_i$ l’ensemble des $b \in A$ tels que $bT^i \in B$. Montrer que si l’on a $\dim(B) = \dim(A)$, il existe un entier positif $k$ tel que pour tout $i \geq k$, $B_i$ soit contenu dans l’intersection des idéaux premiers minimaux de A.