Exercice 1, § 7

Soit $\Gamma \subset \mathbf{N}$ un sous-monoïde de $\mathbf{N}$ tel que $\mathbf{N} - \Gamma$ soit un ensemble fini. Soit $(a_1, ..., a_r)$ $(0 < a_1 < ... < a_r)$ un système minimal de générateurs de $\Gamma$, et soit $k$ un corps. Posons $A = k[\Gamma]$. a) Montrer que $A$ est isomorphe à la sous-$k$-algèbre de $k[T]$ engendrée par $T^{a_1}, ..., T^{a_r}$. b) Soit $m$ l’idéal maximal de $A$ engendré par $T^{a_1}, ..., T^{a_r}$; soit $A_m$ l’anneau local de $A$ en $m$, et posons $q = mA_m$. Montrer que l’on a $\dim_k q/q^2 = r$ et $e_q(A_m) = a_1$.