Bài tập 1, § 7

Cho $\Gamma \subset \mathbf{N}$ là một monoid con của $\mathbf{N}$ sao cho $\mathbf{N} - \Gamma$ là một tập hợp hữu hạn. Cho $(a_1, ..., a_r)$ $(0 < a_1 < ... < a_r)$ là một hệ sinh cực tiểu của $\Gamma$, và cho $k$ là một trường. Đặt $A = k[\Gamma]$. a) Chứng minh rằng $A$ là đẳng cấu với đại số con-$k$ của $k[T]$ sinh bởi $T^{a_1}, ..., T^{a_r}$. b) Cho $m$ là iđêan cực đại của $A$ sinh bởi $T^{a_1}, ..., T^{a_r}$; cho $A_m$ là vành địa phương của $A$ tại $m$, và đặt $q = mA_m$. Chứng minh rằng ta có $\dim_k q/q^2 = r$ và $e_q(A_m) = a_1$.