Exercice 12, § 7

Soient A un anneau noethérien, a, b et c trois idéaux de A tels que c soit contenu dans le radical de A. a) Montrer que si l’on a l’inclusion $\overline{b + c.a} \subset \overline{a}$, alors on a $\overline{b} \subset \overline{a}$. b) En déduire que si A est local, et si l’on a $b \subset a$ et $\overline{b} = \overline{a}$, il existe au moins un idéal $b_1 \subset b$ tel que $\alpha) \overline{b_1} = \overline{a}$, $\beta)$ $b_1$ est minimal pour cette propriété, c’est-à-dire que si $b'_1 \subset b_1$ et $\overline{b'_1} = \overline{b_1}$, alors $b'_1 = b_1$.