Exercice 13, § 7

Soient A un anneau local et a et b deux idéaux de A distincts de A. Montrer que si $a \subset b$, on a $\overline{a} = \overline{b}$ si et seulement si l’algèbre graduée gr_b(A) est entière sur l’algèbre graduée gr_a(A). En déduire que si $a = (x_1, ..., x_d) \subset b$ où $d = \dim(A)$, on a $\overline{a} = \overline{b}$ si et seulement si les formes initiales $\xi_1, ..., \xi_d$ dans gr_b(A) des $x_i$ sont de degré 1 et forment une suite sécante maximale pour gr_b(A).