Exercice 15, § 7

Soit A un anneau local, noethérien, complet, d’idéal maximal m. Posons $d = \dim(A)$. On suppose que A contient un sous-corps k tel que $A = k + m$.

Montrer que l’on peut trouver $x_1, ..., x_d$ dans m tels que : $\alpha)$ le morphisme $\varphi : k[[X_1, ..., X_d]] \to A$ défini par $\varphi(X_i) = x_i$ fasse de A une $k[[X_1, ..., X_d]]$-algèbre entière ; $\beta)$ en notant $m_0 = (X_1, ..., X_d)$ l’idéal maximal de $k[[X_1, ..., X_d]]$, on ait $\overline{m_0A} = m$, et donc $e_{m_0A}(A) = e_m(A)$. Montrer que si $x_1, ..., x_d$ satisfont la condition $\alpha)$, la condition $\beta)$ est satisfaite si et seulement si les formes initiales $\xi_1, ..., \xi_d$ des $x_i$ dans $\mathrm{gr}_m(A)$ forment une suite sécante maximale.