Bài tập 15, § 7

Cho $A$ là một vành địa phương, Noether, đầy đủ, với iđêan cực đại m. Đặt $d = \dim(A)$. Giả sử rằng A chứa một trường con k sao cho $A = k + m$.

Chứng minh rằng có thể tìm được $x_1, ..., x_d$ trong m sao cho: $\alpha)$ cấu xạ $\varphi : k[[X_1, ..., X_d]] \to A$ xác định bởi $\varphi(X_i) = x_i$ làm cho A trở thành một $k[[X_1, ..., X_d]]$-đại số nguyên ; $\beta)$ ký hiệu $m_0 = (X_1, ..., X_d)$ là iđêan cực đại của $k[[X_1, ..., X_d]]$, ta có $\overline{m_0A} = m$, và do đó $e_{m_0A}(A) = e_m(A)$. Chứng minh rằng nếu $x_1, ..., x_d$ thỏa mãn điều kiện $\alpha)$, thì điều kiện $\beta)$ được thỏa mãn khi và chỉ khi các dạng ban đầu $\xi_1, ..., \xi_d$ của các $x_i$ trong $\mathrm{gr}_m(A)$ lập thành một dãy xuyên ngang cực đại.