Exercice 17, § 7

Soient A un anneau local noethérien possédant une suite complètement sécante de longueur $d = \dim(A)$, à l’idéal engendré par une telle suite et $f \in A$ un élément entier sur $a$ mais n’appartenant pas à $a$ (par exemple $A = k[[X_1, ..., X_d]]$, où $k$ est un corps, $a = (X_1^k, ..., X_d^k)$ et $f = X_1^{k-1}X_2$). Soit $a' = a + fA$. Montrer que l’on a l’inégalité $e_{a'}(A) > \mathrm{long}(A/a')$.