Exercice 18, § 7

Soient A un anneau et $a$ un idéal de A. Pour tout élément $a \in A$, on note $v_a(a)$ la borne supérieure de l’ensemble des entiers $\nu \in \mathbf{N}$ tels que $a \in a^\nu$. a) Montrer que si $a \notin \bigcap_{k=0}^\infty a^k$ la suite $\left( \frac{v_a(a^k)}{k} \right)$ est convergente. On notera $\bar{v}_a(a)$ sa limite. Si $a \in \bigcap_{k=0}^\infty a^k$ on pose $\bar{v}_a(a) = +\infty$. b) Montrer que, pour tout $a \in A$, on a $\bar{v}_a(a) = \bar{v}_{\overline{a}}(a)$ et en déduire que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) $\bar{v}_a(a) \geqslant 1$, (ii) $a \in a$. (Étudier la monotonie de la suite considérée en a).)