Bài tập 18, § 7

Cho A là một vành và $a$ là một iđêan của A. Với mọi phần tử $a \in A$, ký hiệu $v_a(a)$ là cận trên đúng của tập hợp các số nguyên $\nu \in \mathbf{N}$ sao cho $a \in a^\nu$. (a) Chứng minh rằng nếu $a \notin \bigcap_{k=0}^\infty a^k$ thì dãy $\left( \frac{v_a(a^k)}{k} \right)$ là hội tụ. Giới hạn của nó sẽ được ký hiệu là $\bar{v}_a(a)$. Nếu $a \in \bigcap_{k=0}^\infty a^k$ thì ta đặt $\bar{v}_a(a) = +\infty$. (b) Chứng minh rằng, với mọi $a \in A$, ta có $\bar{v}_a(a) = \bar{v}_{\overline{a}}(a)$ và suy ra rằng các điều kiện sau là tương đương: (i) $\bar{v}_a(a) \geqslant 1$, (ii) $a \in a$. (Nghiên cứu tính đơn điệu của dãy được xét trong (a).)