Exercice 2, § 7

Soient $k$ un corps, $m$ un entier $\geq 1$, et $I$ un idéal de l’anneau de polynômes $k[T_1, ..., T_m]$ engendré par des monômes représentés par des points $M_1, ..., M_s$ du « quadrant positif » $\mathbf{R}_+^m$ de $\mathbf{R}^m$. Notons $\mathscr{N}$ l’enveloppe convexe dans $\mathbf{R}_+^m$ de la réunion des ensembles $M_i + \mathbf{R}_+^m$ pour $1 \leq i \leq s$. a) Posons $m = (T_1, ..., T_m)$, $A = k[T_1, ..., T_m]_m$ et $q = I.A$. Montrer que $A/q$ est de longueur finie si et seulement si le volume de $\mathbf{R}_+^m - \mathscr{N}$ est fini. b) Démontrer l’égalité $e_q(A) = m! \ \mathrm{Vol}(\mathbf{R}_+^m - \mathscr{N})$.