Bài tập 2, § 7

Cho $k$ là một trường, $m$ là một số nguyên $\geq 1$, và $I$ là một iđêan của vành đa thức $k[T_1, ..., T_m]$ sinh bởi các đơn thức được biểu diễn bởi các điểm $M_1, ..., M_s$ của “góc phần tư dương” $\mathbf{R}_+^m$ của $\mathbf{R}^m$. Gọi $\mathscr{N}$ là bao lồi trong $\mathbf{R}_+^m$ của hợp các tập hợp $M_i + \mathbf{R}_+^m$ với $1 \leq i \leq s$. a) Đặt $m = (T_1, ..., T_m)$, $A = k[T_1, ..., T_m]_m$ và $q = I.A$. Chứng minh rằng $A/q$ có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi thể tích của $\mathbf{R}_+^m - \mathscr{N}$ là hữu hạn. b) Chứng minh đẳng thức $e_q(A) = m! \ \mathrm{Vol}(\mathbf{R}_+^m - \mathscr{N})$.