Exercice 20, § 7

Soient A un anneau noethérien, M un A-module de type fini, et $q_1, ..., q_k$ des idéaux de A tels que $M/q_i \cdot M$ soit de longueur finie pour tout i. On suppose $M \neq 0$ et on pose $d = \dim_A(M)$. a) Montrer que $M/q_1^{n_1} ... q_k^{n_k} \cdot M$ est de longueur finie pour tout k-uple d’entiers positifs $(n_1, ..., n_k)$. b) Considérons l’anneau gradué H de type $\mathbf{N}^k$ tel que

et le H-module gradué N tel que montrer que N est un H-module gradué de type fini engendré par $N_{0,...,0}$ et un nombre fini d’éléments dont les degrés sont des vecteurs de la base canonique de $\mathbf{Z}^k$. En déduire qu’il existe un polynôme $Q(T) \in \mathbf{Z}[T_1, ..., T_k]$ et des entiers $s_1 \geqslant 1, ..., s_k \geqslant 1$ tels que l’on ait (On procédera par récurrence sur d.)

c) En déduire, en étendant à $Z((T_1, ..., T_k))$ les résultats du § 6, n° 1, l’existence d’entiers $c(\alpha_1, ..., \alpha_k)$ pour les suites $(\alpha_1, ..., \alpha_k)$ telles que $|\alpha| = \sum_{i=1}^k \alpha_i = d$, tels que l’on ait

pour $(v_1, ..., v_k)$ dans $\mathbf{N}^k$.

d) Supposons maintenant A local, à corps résiduel $\kappa$ infini. Montrer, en utilisant l’existence d’éléments superficiels pour le H-module gradué N, que l’on a

où $q_\alpha$ parcourt l’ensemble des idéaux de A engendrés par $\alpha_1$ éléments de $q_1$, $\alpha_2$ éléments de $q_2$, ..., $\alpha_k$ éléments de $q_k$. On note parfois $e(q_1^{[\alpha_1]} + \cdots + q_k^{[\alpha_k]}; M)$ l’entier $c(\alpha_1, ..., \alpha_k)$, ce qu’on abrège en $e(q_1^{[\alpha_1]} + \cdots + q_k^{[\alpha_k]})$ lorsque $M = A$.

e) Démontrer l’égalité

f) Montrer que l’on a :

où $\overline{q_i}$ désigne la fermeture intégrale dans A de l’idéal $q_i$ (cf. exerc. 19).