Bài tập 20, § 7

Cho $A$ là một vành noether và $M$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn, và $q_1, ..., q_k$ là các iđêan của $A$ sao cho $M/q_i \cdot M$ có độ dài hữu hạn với mọi i. Giả sử rằng $M \neq 0$ và đặt $d = \dim_A(M)$. (a) Chứng minh rằng $M/q_1^{n_1} ... q_k^{n_k} \cdot M$ có độ dài hữu hạn với mọi bộ k số nguyên dương $(n_1, ..., n_k)$. (b) Xét vành phân bậc H kiểu $\mathbf{N}^k$ sao cho

và môđun phân bậc H-môđun N sao cho chứng minh rằng N là một H-môđun phân bậc sinh hữu hạn được sinh bởi $N_{0,...,0}$ và một số hữu hạn phần tử có các bậc là các vectơ của cơ sở chính tắc của $\mathbf{Z}^k$. Suy ra rằng tồn tại một đa thức $Q(T) \in \mathbf{Z}[T_1, ..., T_k]$ và các số nguyên $s_1 \geqslant 1, ..., s_k \geqslant 1$ sao cho ta có (Tiến hành bằng quy nạp theo d.)

(c) Suy ra, bằng cách mở rộng sang $Z((T_1, ..., T_k))$ các kết quả của § 6, No. 1, sự tồn tại của các số nguyên $c(\alpha_1, ..., \alpha_k)$ đối với các dãy $(\alpha_1, ..., \alpha_k)$ sao cho $|\alpha| = \sum_{i=1}^k \alpha_i = d$, sao cho ta có

với $(v_1, ..., v_k)$ trong $\mathbf{N}^k$.

(d) Giả sử bây giờ rằng A là địa phương, với trường thặng dư vô hạn $\kappa$. Chứng minh, sử dụng sự tồn tại của các phần tử bề mặt đối với H-môđun phân bậc N, rằng ta có

trong đó $q_\alpha$ chạy qua tập hợp các iđêan của A được sinh bởi $\alpha_1$ phần tử của $q_1$, $\alpha_2$ phần tử của $q_2$, ..., $\alpha_k$ phần tử của $q_k$. Đôi khi người ta ký hiệu số nguyên $c(\alpha_1, ..., \alpha_k)$ bởi $e(q_1^{[\alpha_1]} + \cdots + q_k^{[\alpha_k]}; M)$, ký hiệu này được rút gọn thành $e(q_1^{[\alpha_1]} + \cdots + q_k^{[\alpha_k]})$ khi $M = A$.

(e) Chứng minh đẳng thức

(f) Chứng minh rằng ta có :

trong đó $\overline{q_i}$ ký hiệu bao đóng nguyên trong A của iđêan $q_i$ (xem bài tập 19).