Exercice 22, § 7

\* Soient A un anneau intègre noethérien, qui soit local et complet (resp. une algèbre de type fini sur un corps k), $a \in A$ un élément non inversible et non nul. On fait les hypothèses suivantes : α) Supp(A/aA) possède un seul élément minimal $p$. β) On a $aA_p = pA_p$. γ) $A/p$ est un anneau intégralement clos. On se propose dans cet exercice de montrer que, pour tout idéal maximal m de A contenant a, l’anneau $A_m$ est alors intégralement clos et qu’on a $p = aA$ (« lemme d’Hironaka »). On utilisera dans cet exercice la propriété de caténarité. Cette propriété est satisfaite par les anneaux intègres, noethériens, locaux, complets, ainsi qu’on le verra au chapitre X. Elle est aussi satisfaite par les algèbres intègres de type fini sur un corps (§ 2, n° 4, th. 3). a) Montrer que $A_p$ est un anneau de valuation discrète (§ 3, n° 1, prop. 1 et VI, § 3, n° 6, prop. 9). b) On fait les hypothèses α) et β) et on suppose A intégralement clos. Montrer que l’on a $p = aA$ (VII, § 1, n° 4, prop. 8). c) Soit A’ la clôture intégrale de A. Démontrer que A’ est un anneau intègre, noethérien, local et complet (resp. que c’est une algèbre de type fini sur k). (On remarquera que A est japonais (IX, § 4, n° 2, th. 2), donc que A’ est intègre, noethérien, semi-local et complet et, par suite, local (III, § 2, n° 13, corollaire à la prop. 19). Dans le cas où A est une algèbre de type fini sur k, on utilisera V, § 3, n° 2, th. 2.) d) Montrer que l’on a $A' \otimes_A A_p = A_p$ (utiliser a) et V, § 1, n° 5, prop. 16). En déduire qu’il existe un seul idéal premier $p'$ de A’ au-dessus de p et qu’on a $A_p = A_{p'}', aA_{p'}' = p'A_{p'}'$. e) Soit q un élément minimal du support de $A'/aA'$. Montrer que q est un idéal premier de A’ au-dessus de p. (Remarquer que q est de hauteur 1 (§ 3, n° 1, prop. 1) et que par suite en vertu de la caténarité, on a dim(A'/q) = dim(A) - 1. En déduire que l’on a dim(A/(q ∩ A)) = dim(A) - 1 et par suite que q ∩ A = p.) f) Déduire de e) que aA' est un idéal premier de A' et qu’on a aA' = p' = pA' (on pourra utiliser b)). g) Montrer que l’on a A'_m = A_m pour tout idéal maximal m de A contenant a. (Des inclusions A ⊂ A' ⊂ A_p déduire les inclusions A/p ⊂ A'/p' ⊂ A_p/pA_p. En déduire que A/p et A'/p' ont le même corps des fractions et par suite, d’après γ), que A/p = A'/p' = A' ⊗_A (A/p), la dernière égalité résultant de f). On a donc (A'/A) ⊗_A (A/p) = 0. Conclure.) Achever alors la démonstration du lemme d’Hironaka. \*