Bài tập 22, § 7

\* Cho A là một vành nguyên Noether, địa phương và đầy đủ (tương ứng là một đại số sinh hữu hạn trên một trường k), $a \in A$ là một phần tử không khả nghịch và khác không. Ta đặt các giả thiết sau: α) Supp(A/aA) chứa một phần tử cực tiểu duy nhất $p$. β) Ta có $aA_p = pA_p$. γ) $A/p$ là một vành đóng nguyên. Trong bài tập này, ta đề nghị chứng minh rằng, với mọi iđêan cực đại m của A chứa a, vành $A_m$ khi đó là đóng nguyên và ta có $p = aA$ (“bổ đề Hironaka”). Trong bài tập này ta sẽ sử dụng tính chất catenary. Tính chất này được thỏa mãn bởi các vành nguyên, Noether, địa phương, đầy đủ, như sẽ thấy trong Chương X. Nó cũng được thỏa mãn bởi các đại số nguyên kiểu hữu hạn trên một trường (§ 2, No. 4, Định lý 3). a) Chứng minh rằng $A_p$ là một vành định giá rời rạc (§ 3, No. 1, Mệnh đề 1 và VI, § 3, No. 6, Mệnh đề 9). b) Ta đặt các giả thiết α) và β) và giả sử A đóng nguyên. Chứng minh rằng ta có $p = aA$ (VII, § 1, No. 4, Mệnh đề 8). c) Cho A’ là bao đóng nguyên của A. Chứng minh rằng A’ là một vành nguyên, Noether, địa phương và đầy đủ (tương ứng rằng nó là một đại số sinh hữu hạn trên k). (Ta sẽ nhận xét rằng A là Japanese (IX, § 4, No. 2, Định lý 2), do đó A’ là nguyên, Noether, nửa địa phương và đầy đủ và do đó là địa phương (III, § 2, No. 13, hệ quả của Mệnh đề 19). Trong trường hợp A là một đại số sinh hữu hạn trên k, ta sẽ sử dụng V, § 3, No. 2, Định lý 2.) d) Chứng minh rằng ta có $A' \otimes_A A_p = A_p$ (sử dụng a) và V, § 1, No. 5, Mệnh đề 16). Suy ra rằng tồn tại một iđêan nguyên tố duy nhất $p'$ của A’ nằm trên p và ta có $A_p = A_{p'}', aA_{p'}' = p'A_{p'}'$. e) Cho q là một phần tử cực tiểu của giá của $A'/aA'$. Chứng minh rằng q là một iđêan nguyên tố của A’ nằm trên p. (Chú ý rằng q có chiều cao 1 (§ 3, No. 1, Mệnh đề 1) và do đó, theo tính catenary, ta có dim(A'/q) = dim(A) - 1. Suy ra rằng ta có dim(A/(q ∩ A)) = dim(A) - 1 và do đó q ∩ A = p.) f) Suy ra từ e) rằng aA’ là một iđêan nguyên tố của A’ và ta có aA’ = p' = pA’ (có thể sử dụng b)). g) Chứng minh rằng ta có A'_m = A_m với mọi iđêan cực đại m của A chứa a. (Từ các bao hàm A ⊂ A' ⊂ A_p suy ra các bao hàm A/p ⊂ A'/p' ⊂ A_p/pA_p. Suy ra rằng A/p và A'/p' có cùng trường phân thức và do đó, theo γ), ta có A/p = A'/p' = A' ⊗_A (A/p), đẳng thức cuối cùng thu được từ f). Do đó (A'/A) ⊗_A (A/p) = 0. Kết luận.) Hoàn thành khi đó chứng minh của bổ đề Hironaka. \*