Exercice 23, § 7

a) Soit A un anneau local noethérien tel que e(A) = 1. Montrer que A possède un seul idéal premier minimal p tel que dim(A) = dim(A/p). Montrer que de plus on a long(A_p) = 1 et e(A/p) = 1 (§ 7, no 1, remarque 4). b) Rappelons (p. 82, exerc. 10) qu’un anneau local est équidimensionnel si, pour tout idéal premier minimal q de A, on a dim(A/q) = dim(A) et qu’il est sans idéaux premiers immergés si le A-module A_s ne possède pas d’idéaux premiers associés immergés (IV, § 2, no 3, remarque). (On verra au chapitre X que les complétés de quotients intègres d’anneaux locaux de Macaulay possèdent ces deux propriétés.) \ Soit A un anneau local, noethérien, équidimensionnel et sans idéaux premiers immergés, tel que e(A) = 1. Montrer que A est intègre.