Bài tập 23, § 7

a) Cho $A$ là một vành địa phương Noether sao cho e(A) = 1. Chứng minh rằng $A$ có một iđêan nguyên tố cực tiểu duy nhất p sao cho dim(A) = dim(A/p). Chứng minh rằng hơn nữa ta có long(A_p) = 1 và e(A/p) = 1 (§ 7, No. 1, nhận xét 4). b) Nhắc lại (p. 82, Bài tập 10) rằng một vành địa phương là equidimensional nếu, với mọi iđêan nguyên tố cực tiểu q của $A$, ta có dim(A/q) = dim(A) và rằng nó không có các iđêan nguyên tố nhúng nếu môđun $A$-môđun A_s không có các iđêan nguyên tố liên kết nhúng (IV, § 2, No. 3, nhận xét). (Trong chương X sẽ thấy rằng các hoàn thành của các thương nguyên của các vành Macaulay địa phương có hai tính chất này.) \ Cho $A$ là một vành địa phương, Noether, equidimensional, không có các iđêan nguyên tố nhúng, sao cho e(A) = 1. Chứng minh rằng $A$ là nguyên.