Exercice 24, § 7

\* Soient A un anneau local noethérien, Ā son complété. On se propose dans cet exercice de démontrer l’équivalence des propriétés : (i) A est régulier ; (ii) Ā est équidimensionnel et sans idéaux premiers immergés, et e(Ā) = 1 ; (iii) Ā est intègre et e(Ā) = 1. Démontrer les implications (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii). Remarquer que (iii) entraîne l’égalité e(Ā) = 1 et que, pour démontrer (iii) ⇒ (i), il suffit de démontrer que Ā est régulier. On peut donc, pour démontrer (iii) ⇒ (i), supposer A complet, ce que nous ferons désormais. Nous traiterons d’abord le cas où le corps résiduel κ_A possède une infinité d’éléments. On procède par récurrence sur la dimension de A. Examiner le cas dim(A) = 0, et supposer désormais dim(A) > 0. Il existe alors un élément superficiel x ∈ A (§ 7, no 5, remarque 4). En vertu de la propriété de caténarité (exerc. 22) et de § 3, no 1, prop. 1, pour tout idéal minimal p parmi ceux contenant xA, on a dim(A/p) = dim(A/xA). Comme on a e(A/xA) = 1 (§ 7, no 5, th. 1), il existe un seul idéal premier minimal p parmi ceux contenant xA, et l’on a xA_p = pA_p, e(A/p) = 1 (exerc. 23). Par l’hypothèse de récurrence, A/p est régulier, donc intégralement clos (§ 5, no 2, cor. 1 au th. 1). Par le lemme de Hironaka (exerc. 22), on en déduit p = xA. Donc A/xA est régulier et comme A est intègre, A est régulier (§ 5, no 3, prop. 2).

Supposons maintenant que κ_A soit un corps fini. Prouver qu’il suffit de démontrer que le gonflement A]X[ (IX, App., no 2) est régulier. Remarquer que A et par suite A]X[ est isomorphe à un quotient d’un anneau régulier (IX, § 2, no 5, th. 3) et e(A]X[) = 1. D’après la théorie des anneaux de Macaulay (chapitre X) le complété Ā]X[ est équidimensionnel et sans idéaux premiers immergés. En déduire que Ā]X[ est intègre (exerc. 23) et que e(Ā]X[) = 1, donc que Ā]X[ est régulier. Conclure. \*