Bài tập 24, § 7

\* Cho A là một vành địa phương Noether, Ā là vành đầy đủ của nó. Trong bài tập này ta đề nghị chứng minh sự tương đương của các tính chất: (i) A là chính quy ; (ii) Ā là đồng chiều và không có các iđêan nguyên tố ngâm, và e(Ā) = 1 ; (iii) Ā là nguyên và e(Ā) = 1. Chứng minh các kéo theo (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii). Nhận xét rằng (iii) kéo theo đẳng thức e(Ā) = 1 và rằng, để chứng minh (iii) ⇒ (i), chỉ cần chứng minh rằng Ā là chính quy. Do đó, để chứng minh (iii) ⇒ (i), ta có thể giả sử A đầy đủ, và từ đây về sau ta sẽ làm như vậy. Trước hết ta xét trường hợp trường thặng dư κ_A có một số vô hạn các phần tử. Ta tiến hành quy nạp theo chiều của A. Xét trường hợp dim(A) = 0, và từ đây giả sử dim(A) > 0. Khi đó tồn tại một phần tử bề mặt x ∈ A (§ 7, no 5, nhận xét 4). Nhờ tính chất catenary (bài tập 22) và § 3, no 1, mệnh đề 1, đối với mọi iđêan tối tiểu p trong số các iđêan chứa xA, ta có dim(A/p) = dim(A/xA). Vì e(A/xA) = 1 (§ 7, no 5, định lý 1), tồn tại duy nhất một iđêan nguyên tố tối tiểu p trong số các iđêan chứa xA, và ta có xA_p = pA_p, e(A/p) = 1 (bài tập 23). Theo giả thiết quy nạp, A/p là chính quy, do đó đóng nguyên (§ 5, no 2, hệ quả 1 của định lý 1). Theo bổ đề Hironaka (bài tập 22), suy ra p = xA. Vì vậy A/xA là chính quy và vì A là nguyên, A là chính quy (§ 5, no 3, mệnh đề 2).

Bây giờ giả sử κ_A là một trường hữu hạn. Chứng minh rằng chỉ cần chứng minh rằng mở rộng A]X[ (IX, Phụ lục, no 2) là chính quy. Nhận xét rằng A và do đó A]X[ đẳng cấu với một thương của một vành chính quy (IX, § 2, no 5, định lý 3) và e(A]X[) = 1. Theo lý thuyết về các vành Macaulay (chương X), vành đầy đủ Ā]X[ là đồng chiều và không có các iđêan nguyên tố ngâm. Suy ra rằng Ā]X[ là nguyên (bài tập 23) và rằng e(Ā]X[) = 1, do đó Ā]X[ là chính quy. Kết luận. \*