Exercice 5, § 7

Algèbre commutative, VIII, p. 104

Soit $k$ un corps. Posons $R = k[[X, Y, Z]]$ et considérons l’anneau local $A = R/(XY, XZ)$ , d’idéal maximal $m$ . Montrer que l’on a

H_A = (1 - T)(1 - T - T^2) \quad H_R = 1 + \sum_{n \geq 1} (n + 2) T^n.

En déduire que l’on a $\dim(A) = 2, \dim_k(m/m^2) = 3$ et $e_m(A) = 1$ . (On a $H_A = P_G$ où $G = \operatorname{gr}_m(A) = k[X, Y, Z]/(XY, XZ)$ . On démontrera l’existence d’une suite exacte de $H$ -modules gradués

0 \to H(-3) \to H(-2) \oplus H(-2) \to H \to G \to 0

où $H = k[X, Y, Z].$ )

Solution

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