Bài tập 5, § 7

Cho $k$ là một trường. Đặt $R = k[[X, Y, Z]]$ và xét vành địa phương $A = R/(XY, XZ)$, có iđêan cực đại $m$. Bây giờ chứng minh rằng ta có

Suy ra rằng ta có $\dim(A) = 2, \dim_k(m/m^2) = 3$ và $e_m(A) = 1$. (Ta có $H_A = P_G$ trong đó $G = \operatorname{gr}_m(A) = k[X, Y, Z]/(XY, XZ)$. Ta sẽ chứng minh sự tồn tại của một dãy khớp các $H$-môđun phân bậc

trong đó $H = k[X, Y, Z].$)